栈和队列

栈

基础概念

定义	只能在表的一端进行插入和删除的线性表
逻辑结构	数据元素之间是一对一的关系
存储结构	顺序存储或链式存储
运算规则	只能在栈顶运算，且访问结点时依照后进先出（LIFO）或先进后出（FILO）的原则
基本操作	建栈、判断栈满或栈空、入栈、出栈、取栈顶元素值

顺序栈

定义：利用一组地址连续的存储单元，依次存放从栈底到栈顶的数据元素。

P U S H : s - > e l e [s - > t o p + +] = a_{n + 1}

P O P : (s - > t o p) - -, e = s - > e l e [s - > t o p]

注：顺序栈不仅需要判断下溢（栈空），还需要判断上溢（栈满）。

链式栈

定义：栈的链式存储结构，简称链栈；与单链表类似链表的尾部是栈底，链表的头部是栈顶。

栈的应用

运算符优先数法

问题：对算术表达式求值：1 + 2 * 4 - 9/3

解法

对每种运算符赋予一个优先数，如：
* / + - #
2 2 1 1 0
其中#是表达式结束符。
一般设两个栈：
- 运算符栈（OPTR）：存放运算符。
- 操作数栈（OPND）：存放操作数。

*	/	+	-	#
2	2	1	1	0

中缀表达式 a + b*c + (d * e + f) * g，其转换成后缀表达式则为 a b c * + d e * f + g * +。转换过程需要用到栈，具体过程如下：
1）如果遇到操作数，我们就直接将其输出。
2）如果遇到操作符，则我们将其放入到栈中，遇到左括号时我们也将其放入栈中。
3）如果遇到一个右括号，则将栈元素弹出，将弹出的操作符输出直到遇到左括号为止。注意，左括号只弹出并不输出。
4）如果遇到任何其他的操作符，如（“+”， “*”，“（”）等，从栈中弹出元素直到遇到发现更低优先级的元素(或者栈为空)为止。弹出完这些元素后，才将遇到的操作符压入到栈中。有一点需要注意，只有在遇到" ) "的情况下我们才弹出" ( "，其他情况我们都不会弹出" ( "。
5）如果我们读到了输入的末尾，则将栈中所有元素依次弹出。

cpp

#include<iostream>
#include<stack>
#include<map>

using namespace std;
map<char, int> ranks = {{'#', 0},{'+', 2},{'-', 2},{'*', 3},{'/', 3},{'(', 1},{')', 1}};

void InfixToPostfix(char *infix, char *posfix){
    char c;
    stack<char> OPTR;//运算符栈
    OPTR.push('#');//init_stack
    for(int i = 0,j = 0; infix[i] != '\0'; i++){
        c = infix[i];
        if(c >= '0' && c <= '9'){
            posfix[j++] = c;
        }else{
            int r = ranks[OPTR.top()];
            while(ranks[c] <= r && ranks[c] != 1){//括号后面单独处理
                if(r >= 2){//不加入其他字符
                    posfix[j++] = OPTR.top();
                } 
                if(OPTR.empty()){
                    break;
                }
                OPTR.pop();
                if(OPTR.empty()){
                    break;
                }
                r = ranks[OPTR.top()];
            }
            //如果是(,就直接加入，不用做任何处理
            if(c == ')'){
                char t = OPTR.top();
                r = ranks[OPTR.top()];
                while(t != '('){
                    if(r >= 2){//不加入其他字符
                        posfix[j++] = OPTR.top();
                    }
                    OPTR.pop();
                    t = OPTR.top();
                    r =  ranks[OPTR.top()];
                }
                OPTR.pop();//弹出'('
            }else{
                OPTR.push(c);
            }
        }
    }
}

void print_chars(char* chars){
    cout << chars[0];
    for(int i = 1; chars[i] != '\0'; i++){
        cout << '!' << chars[i];
    }
    cout << endl;
}

int main(){
    // char test1[10] = {'9','-','5','*','(','4','+','3',')','#'};
    // char result1[50];
    // InfixToPostfix(test1, result1);
    // print_chars(result1);
    /*output 9!5!4!3!+!*!- */

    char test2[14] = {'2','*','(','3','+','4',')','/','(','1','+','1',')','#'};
    char result2[50];
    InfixToPostfix(test2, result2);
    print_chars(result2);
    /*output 2!3!4!+!*!1!1!+!/ */
    
    return 0;
}

地图四染色

栈的特性：

在某些问题的求解中常使用试探方法，当某一路径受阻时，需逆序退回，重新选择路径。
可利用栈记录曾到达的每一状态，栈顶状态即是回退的第一站。

问题：用不多于四种颜色对地图着色，使相邻地区不重色。

解法：

从 1 号地区开始逐一染色每一个地区逐次用色号 1、2、3、4 进行试探。
若当前所取的色号与周围已染色的地区不重色，则用栈记下该地区的色号，否则依次用下一色号进行试探。
若出现用 1~4 色均与相邻地区重色，则需退回，修改上一地区的色号：退栈回溯，修改当前栈顶的色号。

detail:

使用一个关系矩阵存储地区与地区之间是否相邻

伪代码：

python

for r in range(p):  # p 为 1~7 的城市号
	for ci in range(c):  # c 为 1~4 的色号
    	for r in range(p):  # 依次试探相邻城市是否染过颜色 ci
            step:{是：回退；否：染色}

cpp

/**gb2312**/
#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
//data
string name[34]={"广西","广东","云南","贵州","湖南","江西","福建",
              "浙江","安徽","湖北","重庆","四川","西藏","青海",
              "新疆","甘肃","陕西","宁夏","内蒙","北京","黑龙江",
              "吉林","辽宁","天津","河北","山西","河南","江苏",
              "山东","上海","海南","台湾","香港","澳门"};
int map[34][34]={省略} //二维关系矩阵

vector<int> find(int i){//找某一个城市与其他哪些城市有关系
    vector<int> relationship;
    for(int j = 0; j < i; j++){//这里 j<i 是因为只需要找前面涂过色的是否重复
        if(map[i][j] == 1){
            relationship.push_back(j);
        }
    }
    return relationship;
}

void print_vec(vector<int> vec){
    cout << "<";
    for(int i = 0; i < vec.size(); i++){
        cout << "{"<< name[i] << ": " << vec[i] << "}" << ", ";
    }
    cout << ">" << endl;
}

//非递归解法
void solution1(){
    vector<int> color_stack;
    vector<int> temp;
    int i=0, c=0, k=0;//i 为所有城市，c 代表 4 种颜色
    for(; i < 34; i++){//涂第 i 个城市
        temp.clear();
        temp = find(i);//temp 为与当前 i 有关系且已经涂过色的城市
        for(;c < 4; c++){
            int flag1 = 0;
            if(!temp.empty()){
                for(int m = 0; m < temp.size(); m++){
                    if(color_stack[temp[m]] == c){
                        flag1 = 1;//说明当前颜色不能用
                    }
                }
            }
            if(flag1 == 0){//涂色
                color_stack.push_back(c);
                c = 0;
                break;
            }
        }
        while(c == 4){//没有颜色可用,向上判断一次
            c = color_stack.back() + 1;
            color_stack.pop_back();
            temp.clear();
            temp = find(color_stack.size());
            while(c < 4){//遍历后面几种颜色进行涂色
                int flag2 = 0;
                if(!temp.empty()){
                    for(int m = 0; m < temp.size(); m++){
                        if(color_stack[temp[m]] == c){
                            flag2 = 1;//说明当前颜色不能用
                        }
                    }
                }
                if(flag2 == 0){//涂色
                    color_stack.push_back(c);
                    c = 0;
                    break;
                }
                c++;
            }
        }
    }
    print_vec(color_stack);
    /*<{广西: 0}, {广东: 1}, {云南: 1}, {贵州: 2}, {湖南: 3},
     {江西: 0}, {福建: 2}, {浙江: 1}, {安徽: 2}, {湖北: 1}, 
     {重庆: 0}, {四川: 3}, {西藏: 0}, {青海: 1}, {新疆: 2},
     {甘肃: 0}, {陕西: 2}, {宁夏: 1}, {内蒙: 3}, {北京: 0}, 
     {黑龙江: 0}, {吉林: 1}, {辽宁: 0}, {天津: 1}, {河北: 2}, 
     {山西: 0}, {河南: 3}, {江苏: 0}, {山东: 1}, {上海: 2}, 
     {海南: 0}, {台湾: 0}, {香港: 0}, {澳门: 0}, >
    */
}
// 递归解法
int isOk(int metrix[34][34],int city[34],int current){
    for(int j=0; j<current; j++)
        if(metrix[current][j]==1&&city[j]==city[current])
            //他们之间是相邻且涂的是同一种颜色
            return 0;
    return 1;
}

void color(int metrix[34][34],int city[34],int sum,int current)
{
    if(current<=sum){
        for(int i=0; i<4; i++)     //colored current city
        {
            city[current]=i;
            if(isOk(metrix,city,current))
            {
                color(metrix,city,sum,current+1);   //colored next city
                break;
            }
        }//注意这个循环和递归的结合，挺巧妙的。
    }
}

int main (){

    //solution1:
    cout << "****************1***************" << endl;
    solution1();

    //solution2:
    int city[34] = {};
    color(map,city,34,0);
    //print
    cout << "****************2***************" << endl;
    cout << "<";
    for(int i = 0; i < 34; i++){
        cout << "{"<< name[i] << ": " << city[i] << "}" << ", ";
    }
    cout << ">" << endl;
    //结果一致
    // for(int i = 0; i < 34; i++){
    //     cout  << city[i]  << ", ";
    // }
    //color = [0, 1, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 2, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 0]

    return 0;
}

函数调用

栈是存储器的一个区域。
一般使用栈实现函数调用。
函数占用的区域被称作函数的栈帧。
函数调用时，为被调用的函数分配栈帧，存放函数创建的局部（临时）变量等信息。
函数嵌套调用时，堆栈中会同时存在多个函数的栈帧。

递归

定义：若一个过程直接地或间接地调用自己，则称这个过程是递归的。

分类：直接递归与间接递归。

条件：

解决问题时，可把一个问题转化为一个新的问题。
这个新问题的解法与原问题的解法相同，只是所处理的对象不同。
必须有结束递归的条件，否则递归将无休止地进行，导致耗尽系统资源。
数据结构是递归的，如二叉树。
问题的解法是递归的，如汉诺塔、地图四染色、走迷宫等。
- 大问题转换为几个小问题，小问题进一步分解为更小的小问题，直到递归出口为止。
- 递归模型由递归出口和递归体两部分组成，前者确定递归合适为止，后者确定递归的方式。
  $n! = {\begin{cases} 1, n = 0 \\ n * (n - 1)!, n >= 1 \end{cases}$

递归算法的非递归描述：考虑到**栈帧的模型（系统栈的调用）**就很好理解。

cpp

\********递归解法********\
int fac(int n){
    if(n == 1)
        return 1;
    else
        return n*fac(n-1);
}
int main(){
    fac(4)
    return 0;
}

cpp

\*******非递归解法*******\
int fac(int n){
    int s = 1;
    while(n >= 1)
        push(stack, p--);
    while(!empty(stack))
        s *= pop(stack);
    return s;
}
int main(){
    fac(4);
    return 0;
}

两种解法的时间复杂度与空间复杂度都是一样的。

队列

基础概念

队列定义	只能在表的一端进行插入，在表的另一端进行删除的线性表
逻辑结构	元素之间是一对一的关系
存储结构	顺序队列和链队列
运算规则	队尾入队、队头出队、遵循先进先出（FIFO）的原则
基本操作	入队、出队、建空队列、判队空或对满

顺序队列

队列的顺序存储，称为顺序队列。由存放元素的顺序表、队头指针、队尾指针三部分组成。

顺序存储的两个问题：

普通队列出现的假上溢的问题：使用循环队列解决：
- 把队列设想为环形（若 rear+1 == M, 则令 rear=0）
- 实现：利用模运算
- 入队：rear = (rear + 1)%M; sq[rear] = x;
- 出队： front = (front + 1)%M; x = sq[front];
队空与队满的判定条件相同：少用一个元素空间
- 队空：front == rear
- 队满：（rear + 1）%M == front

初始化：

cpp

cquenetp *initquene(){
    cquenetp *q;
    q = new cquenetp;
    //将队列头尾指针置为 0
    q->front = q->rear = 0;
    return q;
}

入队：

cpp

if((q->rear+1)%M == q->front){  //判队满
    q->rear = (q->rear+1)%M;  //入队
    q->v[q->rear] = x;
    return true;
}else{
    return false;
}

出队：

cpp

if(q->front == q->rear){  //判队空
    q->front= (q->front + 1)%M;  //出队
    x = q->v[q->front];
    return x
}else{
    return false;
}

链队列

头指针（front）指向队头结点。
尾指针（rear）指向队尾结点。
注意是删头加尾，因为删除链表的一个结点需要知道它的前趋结点。

链为空的条件是 front == rear, 原则上来说链队列是不需要判满的。

初始化：

cpp

linkquene *initquene(){
    linkquene *q;//链队列指针，封装了队头队尾指针
    QUENE *p;//p 为指向链队列结点的指针
    q = new linkquene;
    p = new QUENE;//生成头结点
    p->next = NULL;//头节点指针域为空，空队列
    q->front = q->rear = p;//队头队尾指针都指向头结点
    return q;
}

入队：

cpp

void enquene(linkquene *q, datatype x){
    QUENE *p; //p 为指向链队列结点的指针
    p = new QUENE;
    p->data = x;
    p->next = NULL;
    q->rear->next = p;
    q->rear= p;
}

出队：

cpp

datatype dequene(linkquene *q){
    QUENE *p; //p 为指向链队列结点的指针
    datattype x;
    if(q->front == q->rear){
        return false;
    }else{
        p = q->front->next;//p 指向队列头
        x = p->data;//将队头元素的值赋给 x
        q->front->next = p->next;//出队
        //若出队列后队列为空，则修改队尾指针
        if(p->next == null)
            q->rear = q->front;
        delete(p);
        return x;
    }
    
}

队列的应用（子集划分问题）

运动会设立了 n 个比赛项目，没饿过运动员可以参加 1~3 个项目。请问应该如何安排比赛日程？从而使同一运动员参加的项目不能在同一时间进行，并使总的竞赛日程最短。

解决方法概述：

将集合 A 中的所有元素放入一个队列中，然后依次取出队头元素 a_i 放入一个待分配的组 gm 中，若 a_i 与组 gm 中的其他元素无冲突，则加入组 gm，如产生冲突，则将重新入队；当遍历考察一轮队列中的所有元素后，产生一个无冲突的子集 gm，如此循环，直到所有元素都被分配完成。

细节：

同样使用关系矩阵存放冲突关系
使用**newrela[]**存放与当前子集的元素冲突的关系元素==>存一个元素到该子集就将该元素所有有冲突关系的元素在 newrela[]中标为 1，如此累积，直到这次循环结束，newrela[]清空。

是将 A 中元素的编号（1，2，3······，n）入队到 cq 中，reault[]，newrela[]清空，组号 group=1，pre=1。
出队一个元素->i，pre = i，result[i] = group,判断冲突。
如果 i<pre，则第一个分组完成，开始 group=2。

准备

cpp

#include<iostream>
#include<vector>
#include<stdexcept>

//关系矩阵，不过这里是人工手动建的，其中第一排与第一列不参与
int matrix[10][10] = {
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},//0
    {1,0,1,0,0,0,0,0,0,0},//1
    {2,1,0,0,0,1,1,0,1,1},//2
    {3,0,0,0,0,0,1,1,0,0},//3
    {4,0,0,0,0,1,0,0,0,1},//4
    {5,0,1,0,1,0,1,1,0,1},//5
    {6,0,1,1,0,1,0,1,0,0},//6
    {7,0,0,1,0,1,1,0,0,0},//7
    {8,0,1,0,0,0,0,0,0,0},//8
    {9,0,1,0,1,1,0,0,0,0},//9
};
int newrela[10] = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,};

using namespace std;

顺序存储实现队列

cpp

class my_quene{
    int nums[10];
    int front = 0;
    int rear = 0;
public:
    my_quene(){

    }
    ~my_quene(){

    }
    void enquene(int x){
        if((this->rear+1)%10 == this->front){
            throw std::out_of_range( "duiman~" );
        }
        this->rear = (++this->rear)%10;
        this->nums[this->rear] = x;
        return;
    }
    int dequene(){
        if(this->front == this->rear){
            throw std::out_of_range( "duikong~" );
        }
        this->front = (++this->front)%10;
        int x = this->nums[this->front];
        return x; 
    }
    int empty(){
        if(this->front == this->rear){
            return 1;
        }
        else{
            return 0;
        }
    }
    //为该题单独封装的一个方法
    //判断一次是否遍历完了
    int over(){
        //这里后面还要出队入队才算结束
        if(this->nums[(this->front + 1)%10] < this->nums[this->rear]){
            return 1;
        }
        return 0;
    }
};

链式存储实现队列

cpp

struct qnode
{
    int key;
    qnode* next;
    qnode(int x) :
		key(x), next(NULL) {
	}
};

class my_quene{
    qnode* front = NULL;
    //front 相当于头节点
    qnode* rear = NULL;
public:
    my_quene(){
        front = new qnode(-1);
        rear = front;
    }
    ~my_quene(){
        delete(front);
    }
    void enquene(int x){
        qnode* temp = new qnode(x);
        rear->next = temp;
        rear = rear->next;
    }
    int dequene(){
        if(this->empty()){
            throw std::out_of_range("quene_empty!");
        }
        qnode* temp = front->next;
        //这里最后一个节点删除的时候需要手动移动 rear 指针；
        if(temp->next == NULL){
            rear = front;
        }
        front->next = temp->next;
        int x = temp->key;
        delete(temp);
        return x;
    }
    int empty(){
        if(rear == front){
            return 1;
        }
        return 0;
    }
    int over(){
        if(this->empty()){
            return 2;
        }
        if(front->next == NULL){
            return 0;
        }
        if(front->next->key < rear->key){
            return 1;
        }
        return 0;
    }
};

测试

cpp

void test_my_quene(){
    my_quene test;
    for(int i = 0; i < 4; i++){
        test.enquene(i);
    }
    for(int i = 0; i < 4; i++){
        int temp = test.dequene();
        cout << temp << ", ";
    }
    cout << endl;
}

添加冲突

cpp

int add_rela(int i){
    //如果和当前组冲突，就返回 0
    if(newrela[i] == 1){
        return 0;
    }
    //不冲突就增加当前会冲突的，返回 1
    for(int j = 1; j < 10; j++){
        if(matrix[i][j] == 1){
            newrela[j] = 1;
        }
    }
    return 1;
}

主函数

cpp

int main(){
    //test_my_quene();

    vector<vector<int>> groups;
    vector<int> group;

    //init_quene
    my_quene match;
    for(int i = 0; i < 9; i++){
        match.enquene(i+1);
    }

    int temp = 0;
    int flag = 1;
    int flag_1 = 0;
    while(!match.empty()){
        while(1){
            if(match.empty()){
                break;
            }
            if(match.over()){//标志着一轮结束了，下一步就是这个
                if(flag){//说明是开始就不跳出
                    flag = 0;//下一次是结束
                }else if(flag_1){
                    flag = 1;//下一次是开始
                    flag_1 = 0;
                    break;
                }
            }
            temp = match.dequene();
            if(add_rela(temp)){
                group.push_back(temp);
            }else{
                match.enquene(temp);
                flag_1 = 1;
            }
        }
        //清空关系
        for(int i = 0; i < 10; i++){
            newrela[i] = 0;
        }
        if(match.empty()){
            break;
        }
        groups.push_back(group);
        group.clear();
    }

    //展示
    for(int i = 0; i < groups.size(); i++){
        cout << "{";
        for(int j = 0; j < groups[i].size(); j++){
            cout << groups[i][j] << ", ";
        }
        cout << "}, ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

栈和队列 ​

栈 ​

基础概念 ​

顺序栈 ​

链式栈 ​

栈的应用 ​

运算符优先数法 ​

地图四染色 ​

函数调用 ​

递归 ​

队列 ​

基础概念 ​

顺序队列 ​

链队列 ​

队列的应用（子集划分问题） ​

栈和队列

栈

基础概念

顺序栈

链式栈

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